设α1=2，αn+1=1/2(αn+1/αn)(n=1，2，…)，证明：(1)limn→∞αn存在；(2)级数∑∞n=1(αn/

设α₁=2，α_n+1=1/2(α_n+1/α_n)(n=1，2，…)，证明：
(1)lim_n→∞α_n存在；
(2)级数∑^∞_n=1(α_n/α_n+1-1)收敛．
【正确答案】：(1)由于 α_n+1=1/2(α_n+1/α_n)≥√α_n•1/α_n=1 α_n+1-α_n=1/2(α_n+1/α_n)-α_n=(1-α_n²)/2α_n≤0 故{α_n}递减且有下界，所以lim_n→∞α_n存在． (2)由(1)知 0≤α_n/α_n+1-1=(α_n-α_n+1)/α_n+1≤α_n-α_n+1 记 s_n=∑^∞_n=1(α_k-α_k+1)=α₁-α_n+ 因lim_n→∞α_n+1存在，故lim_n→∞s_n存在，所以级数∑^∞_n=1(α₁-α_n+1)收敛 由比较审敛法知，级数∑^∞_n=1(α_n/α_n+1-1)收敛．