将下列函数展开成x的幂级数．并求展开式成立的区间．(1)x/(1-x2)；(2)e-x2；(3)cos2x；(4)ln(3+x)

将下列函数展开成x的幂级数．并求展开式成立的区间．
(1)x/(1-x²)；
(2)e^-x2；
(3)cos²x；
(4)ln(3+x)．
【正确答案】：(1)x/(1-x²)=x•[1/(1-x²)]=x∑_n=0^∞(x²)ⁿ=x (x²+x⁴+…)=∑_n=0^∞x²ⁿ⁺¹ (-1﹤x﹤1) (2)e^-x2=1+(-x²)+(-x²)²/2!+…+(-x²)ⁿ/n!= ∑_n=0^∞(-x²)ⁿ/n! =∑_n=0^∞(-1)ⁿx²ⁿ/n! (-∞﹤x﹤+∞) (3)cos²x=(cos2x+1)/2=1/2[∑_n=0^∞(-1)ⁿ•((2x)²ⁿ/(2n)!)]+1/2 =1+∑_n=0^∞(-1)ⁿ(2x)²ⁿ/[2•(2n)!] (-∞﹤x﹤+∞) (4)∵ln(3+x)-ln3=ln(1+x/3) =∑_n=0^∞(-1)ⁿ1/(n+1)•(x/3)ⁿ⁺¹ ∴ln(3+x)=ln3+∑_n=1^∞(-1)^n-1/n•(x/3)ⁿ (-3﹤x≤3)