【成人自考】【概率论与数理统计（经管类）】【04183】高频考点(10)

(1).在抛硬币的试验中，至少抛多少次，才能使正面出现的频率落在(0.4，0.6)区间的概率不小于0.9?

用X表示n次试验中出现正面的次数，X～B(n，1/2) np=1/22，√npq=√n×(1/2)×(1/2)=√n/2 所以 P{0．4＜X/n＜0.6} =P{(0.4n-0.5n)/√npq＜(X-0.5n)/√npq＜(0.6n-0.5n)/√npq} ≈Φ(√n/5)-Φ(-√n/5)=2Φ(√n/5)-1≥0.9 所以 Φ(√n/5)≥0.95，由正态分布表知Φ(1.65)=0.9505 所以 √n/5≥1.65 所以 n≥68.0625 故至少抛69次才能满足要求．

(2).设随机变量X₁，X₂，…，X_n，…相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为σ²，令Z_n=1/n∑ⁿ_i=1X_i，则对任意正数ε，有lim_n→∞P{|Z_n-μ|≤ε}=____.

1 由切比雪夫大数定律知lim_n→∞P{|Z_n-μ|≤ε}=1

(3).设随机变量X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²，试用切比雪夫不等式估计P{|X-μ|<3σ}．

由切比雪夫不等式，对任给ε＞0，有 P(|X-μ|＜ε)≥1-σ²/ε²． 故对ε=3σ有 P(|X-μ|＜3σ)≥1-σ²/9σ²=8/9．

(4).设E(X)=-1，D(X)=4，由切比雪夫不等式估计概率P{-4＜X＜2}≥_____．

5/9 P{-4＜X＜2}=P{-3＜X-E(X)＜3}=P{{X-E(X)|＜3}≥1-D(X)/9=1-4/9=5/9

(5).在抛硬币的试验中，奎少抛多少次，才能使正面出现的频率落在(0．4，0．6)区间的概率不小于0．9?

设Z_n是n次独立重复试验中出现正面的次数． P{0．4﹤Z_n/n﹤0．6)=P{(0.4n-0.5n)/√npq﹤(Z_n-0.5)/√npq﹤(0.6n-0.5n)/√npq ≈Φ(√n/5)-Φ[-(√n/5)]=2Φ(√n/5)-1≥0．9 ∴Φ(√n/5)≥0．95 由标准正态分布表知Φ(1.6 5)=0．9 5 0 5 ∴√n/5≥1．6 5 ∴n≥6 8．1 故至少抛6 9次才能使正面出现的概率落在(0．4，0．6)区间的概率不小于0．9．

(6).设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)．试估计概率P(∣X-μ∣≥3σ)．

∵X～N(μ，σ²) ∴E(X)=μ D(X)=σ² ∴P{∣X-μ∣≥3σ}≤σ²/(3σ)²=0．1111．

(7).已知随机变量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估计X落在(80，120)内的概率_____．

52．P(80＜X＜120)≥0．975

(8).设随机变量X的数学期望E(X)=11，方差D(X)=9，则根据切比雪夫不等式估计P{2(X(20}≥____．

I≥ε)≤D(X)/ε²有P{2﹤X﹤20)=P{11-9﹤X﹤11+9)=P{∣X-11∣﹤9}≥1-9/9²=8/9．

(9).某电教中心有100台20英寸彩电，各台彩电发生故障的概率都是0.02．各台彩电工作是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理计算彩电出故障的台数不小于1的概率．

设彩电出故障的台数为X． (1)X～B(100，0.02) P(X≥1)=1-P(X＜1)=1-e(X=0) =1-C⁰₁₀₀(0.02)⁰•(0.98)¹⁰⁰ =1-(0.98)¹⁰⁰=0．8674． (2)n=100，p=0．02，λ=np=2． P(X≥1)=1-P(X=0) ≈1-2⁰/0!e^-2=1-e^-2=1-0.1353-0•8647• (3)np=2， √np(1-P)=,√2×0.98=1.4 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理 P(X≥1)=1-P(0＜X＜1) =1-P[(0-2)/1.4＜(X-2)/1.4＜(1-2)/1.4) =1-[Φ(-1/1.4)-Φ(2/1.4)] =1-[Φ(-0.7143)-Φ(-1.4286)] =1+45(0.7143)-Φ(1.4286) =0.8375．

(10).设有独立随机变量序列X₁，X₂，…，X_α…具有如下分布列：
X_n-nα0nα
p1/2n²1-1/n²1/2n²
问是否满足切比雪夫大数定律?

为了使随机变量序列能运用于切比雪夫大数定律，要求这些随机变量：(1)独立；(2)具有相同的数学期望；(3)具有相同方差，且方差为有限值． (1)独立性由题设已给定； (2)数学期望 E(X_n)=-nα×(1/2n²)+0×(1-1/n²)+nα×1/2n²=0． (3)E(X)=n²α²×1/n²+0×(1-1/n²)=α． D(X²_n)=E(X²_n)=(E(X_n))²=α²-0=α²． 可见，随机变量方差为有限值．所以随机变量序列X₁，X₂，…，X_n…满足切比雪夫大数定理．

(11).设X₁，X₂，…，X_n，…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差，E(X_i)=μ，D(X_i)=σ²＞0(i=1，2，…)，则对于任意实数x，lim_n→∞P{(∑ⁿ_i=1X_i-nμ)/√nσ≤x}=______．

Φ(x) 由独立同分布序列的中心极限定理即得．

(12).某单位设置有一电话总机，共有200架电话分机．设每个电话分机使用外线通话是相互独立的，每时刻每个分机有5％的概率要使用外线通话．问总机需要多少外线，才能以不低于90％的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?

把每个电话分机要使用外线看作一次试验，假设这些试验是独立的．在200架电话分机中使用外线的个数记为X，则X是一个随机变量，且X～B(200，0.05)． 设总机需备n条外线，由题意和棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理， P(X≤n)=0.9． 即P[(X-200×0.05)/(√200×0.05×0.95)≤(n-200×0.05)/(√200×0.05×0.95)]=0.9 P[(X-100)/√9.5≤(n-10)/√9.5)=0.9 Φ(n-10)/5=0.9，查表得(n-10)/9.5=1.28． 从而n=13.945． 故总机应有14条外线，才能以不低于90％的概率保证每个分机需要使用时可供使用．

(13).100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80％，求任一时刻有70台至86台车床在工作的概率．

设X为100台车床中任一时刻工作的台数，则X～B(100，0．8) np=100×0.8=80，√npq=√100×0.8×0.2=4 所以 P{70≤X≤86}=P{(70-80)/4≤(X-80)/4≤(86-80)/4}≈ Φ(3/2)-Φ(-5/2)=Φ(3/3)+Φ(5/2)-1=0.927

(14).已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0．2)，求这本书印刷错误总数不多于70的概率．

设X^k(k=1，2，…，300)为第k页印刷错误的个数，X₁，X₂，…X₃₀₀是相互独立的随机变量，E(X_k)=λ=0．2，D(X_k)=λ=0．2=σ² ，记X=∑³⁰⁰₃k=1^k ． 由题意和独立同分布序列的大数定律，这本书错误总数不多于70的概率为： P(0≤X≤70)： =P[(0-300×0.2)/(√300×√0.2)≤(X-300×0.2)/(√300×√0.2)≤(70-300×0.2)/(√300×√0.2)] =P(-7．7460≤(x-60)/√60≤1．2909) =Φ(1．2902)-[1-Φ(7．7460)]=0．9015．

(15).将一枚硬币连掷100次，计算出现正面次数大于60的概率．

每掷一次看作是一次试验，显然每次试验是独立的，在连掷100次中出现正面的次数记为X，则X是一个随机变量，X～B(100，0.5)，由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，出现正面次数大于60的概率为 P(60

(16).某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有
10个终端同时使用打印机的概率．

用X表示1 20个终端中同时使用打印机的端数则x～B(120，1/20) np=120×1/20=6，√npq=√120 ×(1/20)×(19/20)≈2．387 P{X﹥10}=1-P(x≤10)=1-P{(X-6)/2.387≤(10-6)/2.387} ≈1-Φ(1．68)=0．046 5．

(17).设二维连续随机向量(X，Y)的概率密度
f(x,y)={1/8(x+y)0≤x≤2,0≤y≤2；
{0其他．
求E(X)，E(Y)，Cov(X，Y)，ρXY

E(X)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞xf(x，y)dxdy ， =∫²₀x[∫²₀1/2(x+y)dy]dx=6/7， E(Y)=∫²₀∫²₀[y•1/2(x+y)dy]dx=6/7． Cov(X，Y)=E[(x-7/6)(Y-7/6)] =∫²₀∫²₀(x-7/6)(y-7/6)1/8(x+y)dxdy =∫²₀∫²₀[xy-(7/6)x-(7/6)y+(7/6)²]1/8(x+y)dy}dx =-(1/36) D(X)=E[X-E(X)]² =∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞[x-E(X)]²f(x，y)dxdy =∫²₀∫²₀(x-7/6)²1/8(x+y)dxdy=11/36． D(Y)=11/36． 所以ρXY=Cov(X,Y)/√D(x)=D(Y)=[-(1/36)/11/36]=-(1/ 11)．

(18).已知离散型随机变量X的概率分布为：P{X=1}=0.2，P{X=2}=0．3，P{X=3)=0.5，则X的数学期望为____，方差为____．

2.3；0.61。 解析： E(X)=1×0．2+2×0．3+3×0．5=2．3， E(X²)=1²×0．2+2²×0．3+3²×0．5=5．9， D(X)=E(X²)-[E(X)]²=5.9-2.3²=0．6 1．

(19).设随机变量X与Y相互独立，且D(X)﹥0，D(Y)﹥0，则X与Y的相关系数ρxy=____．

0。

(20).设随机变量X₁，X₂相互独立，且X₁，X₂的概率密度分别为
f₁(x)=
{2e^-2x，x＞0，
{0，x≤0，
f₂(x)=
{3e^-3x，x＞0，
{0，x≤0，
求：(1)E(2X₁+3X₂)；(2)E(2X₁，-3X²₂)；(3)E(X₁X₂)．

(1)E(2X₁+3X₂)=2E(X₁)+3E(X₂) =2∫^+∞₀2xe^-2xdx+3∫^+∞₀3xe_-3xdx =2 (2)E(2X₁-3X²₂)=2E(X₁)-3E(X²₂) =2∫^+∞₀-2xe^-2xdx-3∫^+∞₀3x²e^-3xdx=1/3 (3)E(X₁，X₂)=E(X₁)E(X₂)=∫^+∞₀2xe^-=1/6

(21).设X₁，X₂，…，X_n独立同分布，均值为μ，且设y=1/n∑ⁿ_i=1X_i，求E(Y)．

E(y)=E(1/n∑ⁿ_i=1X_i)=1/n∑ⁿ_i=1E(X_i)=1/n×nμ=μ

(22).设X₁，X₂，Y均为随机变量，已知Cov(X₁，Y)=-1，Cov(X₂，Y)=3，则Cov(X₁+2X₂，Y)=____.

5。 解析： Cov(X₁+2X₂，Y)=Coy(X₁，Y)+Cov(2X₂，Y)= Cov(X₁，Y)+2Cov(X₂，y)=-1+2×3=5．

(23).设随机变量ξ～N(5，5)，η在[0，π]上均匀分布，相关系数ρ_ξη=1/2，
求：(1)E(ξ-2η)；
(2)D(ξ-2)

因为随机变量ξ～m(5，5)，η在[0，π]上均匀分布． 所以Eξ=5，Dξ=5 Eη=π/2，Dη=π²/12． (1)E(ξ-2η)=Eξ-2Eη=5-2×(π/2)=5-π• (2)D(ξ-2η)=Dξ+4Dη-2cov(ξ，2η) =5+4×π²/12-4√D×√Dyρ_ξη =5+π²/3-4×√5×π/2√3×1/2 =π²/3-(√15/3)π+5

(24).设随机变量X与Y相独立，且(X)=1，D(Y)=2，求D(X-Y)．

D(X-Y)=D(X)+D(Y)=1+2=3

(25).设二维随机变量(X，Y)服从圆域C：x²+y²≤R²上的均匀分布，令Z=√X²+Y²，求E(Z)．

由与(X，Y)服从圆域G：x²+y²≤R²上的均匀分布，所以(X，Y)的概率密度f(x，y)= {1/πR²，x²+y²≤R²； {0， 其他． 从而有E(Z)=∫^+∞_-∞∫^+∞_-∞√x²+y²(x，y)dxdy

此题目数据由翰林刷题小程序免费提供